浮動小数点

基本的には符号部、指数部、仮数部の３フレーズで表現

浮動小数点の表現は10進数では

ここで
符号Ｓ　＋正の数(省略できる)、−負の数
仮数Ａ　適当でいいが一定のルールはある。
基数Ｂ　指数表現の底（てい）にあたり、10進数では　B = 10。
指数Ｅ　整数
　ＢＥ を合わせて指数部
 �� 1０ケタの10進整数　1250000000 を
　1.25×109 と書いたり 、
�� 始めから０が８個連続する10進小数　−0.0000000125 を
　−1.25×10-8 と表現することがあります。  
　このように、±　型の表示を浮動 （ふどう）小数点といいます。
　特に �� のように絶対値(注１ぜったいち)が非常に大きな数や、�� のように非常に小さな数に対して効果的な（分かりやすい）表現です。


は２進数の浮動小数点として ＯＫか？
　

　の型を２進数に応用してみよう。
10 1000 を２進数とするとき、
　10 1000 =  1. 01 × ２5 
で浮動小数点はよろしいか。

残念だが駄目（×）です。 ２進数　1.01に 2 5 を掛ける（つまり32倍する）ことは、5 ビットだけ左シフトすることでもあり、10 1000 と等しい。従って等式としては正しい。
しかし、右辺は、0 , 1 以外の数 2 , 5 を用いており、２進表記とは言えない。では、2→10(2) ,  5→101(2) より、
　1.01×10 101 と変えれば解決するのであろうか。 　否（no）である。大体、２進の負の数には補数を用い、マイナス符号（−）は用いないのです。

２進数の浮動小数点（その１）

情報処理試験出題方式（勝手に名付けました?!）

過去の情報処理試験に出てくる２進数の浮動小数点に関する問題には、 コンピュータに用いているＩＥＥE方式とは異なる浮動小数点のルールを何年も続けて使用しています。この表現方法を見ましょう。
直接に平成18年出題の問題から取り上げます。
<<問題>>　数値を図に示す16ビットの浮動小数点形式で表すとき，10進数0.25を正規化した表現はどれか。ここでの正規化は， 仮数部の最上位けたが0にならないように指数部と仮数部を調節する操作とする。


10進数などの浮動小数点の表現
と語句の対応は同じですから参考にします。
符号部Ｓ 、基数2（決まっているからビット列中に書かない）　および　ビット列（BOX）の配列順序（じゅんばん）は ＩＥＥＥ方式　も同じです。大きな違いは　指数部で負数を２の補数で表すところでしょう。正規化は仮数部が始めから０がダラダラ連続（^○^）することがないように有効ケタを増やす操作です。ＩＥＥE方式も独自の正規化を行っています。

　<<解答>>説明です。
10進 0.25 は 2進数で 0. 01。これを
正規化すると　0. 1×2 -1（等式として）。
指数部eの４ビットは　-1を２の補数表現で、0001→ （反転）1110　→（1をたす）  1111。
仮数部 ｆ　11ビットは　100 0000 0000。　
符号部1ビットは正の数でS=0。
従って
　0 / 1111 / 100 0000 0000 （答ウ）。

２進数の浮動小数点（その２←主流です）

ＩＥＥＥ７５４方式

現在のコンピュータ（パソコン）は殆どがＩＥＥＥ７５４規格（きかく）の演算装置（けいさんするところ）を持っています。 まさに浮動小数点の主流の座にあります。まあ知らなくても特に不都合というわけでもありません。 ここではその中の単精度（たんせいど）形式（注2） の浮動小数点について述べましょう。


　
　正規化　仮数を１以上２未満（みまん）とする。
　仮数　整数部分の１は省略する。
　指数　１２７をたす（ゲタをはかす）。
　符号　正数⇒0  負数⇒１ 　

<<例>>　10進の　0.  625　を単精度形式の浮動小数点で表わすと次のようになる。
0/0111 1110/010 0000 0000 0000 0000 0000 
10進数などの浮動小数点の表現
と語句の対応は同じですから参考にします。
基数は常に２なので、特に記さない。
指数、仮数は２進表記とする。
ゲタの 127は２進で、0111 1111
あるいは
2 7 −1=　1000 0000 − 1 と見れば納得（よい）でしょう。　
例について
0. 625は２進で0. 101。正規化 により
1. 01×2 -1。
指数部は　−1+127 = 126 → 0111 1110 。
仮数部は 1を捨て、小数部分　010 。
以下0 で埋め23 ビットとする。符号部 0 。

問題

（１）情報処理試験出題方式（自称）による浮動小数点です。次の表現は10進数でそれぞれ幾らですか。 上の説明の具体例の答え群の中の、不正解の３個を取り出しています。 参考にして下さい。
答えは次のページです。



（２）ＩＥＥＥ方式による浮動小数点です。次の１０進数をIEEE方式による２進数の浮動小数点で表示して下さい。
単精度形式です。

　　�　�5．75　　　　　�◆�- 80

注１数の絶対値とは 、その数から符号を取り去ったもの。たとえば　＋5 の絶対値、 − 5 の絶対値は　いずれも ５ である。数学の教科書などには　Ａ の絶対値を記号｜Ａ｜で表し、Ａ≧０のとき｜Ａ｜＝Ａ　、Ａ＜０のとき｜Ａ｜＝−Ａ。　などの説明があるが、たいへん難しいと思います。
注２　 32ビット列で表す単精度形式の他に、ＩＥＥＥ方式では64ビット列で表す 倍精度（ばいせいど）形式という浮動小数点も用意されている。 相違点（ちがうこと）は、�　”箙翩� 1ビット、指数部  11ビット、仮数部 52ビットの合わせて 64ビットで表示する。　�◆〇愎�部のゲタはきは　1023をたす。　の２点です。ゲタ 1023 は2進の　11 1111 1111 または　２10 −1 = 100 0000 0000 ー1 と考えれば納得ですか。

前回の答え

 NOT回路は1→0、 0→1 と反転します。SW-AがON (1)のとき、NOT回路を奇数個を通るとOFF(0)、偶数個を通るとON(1) です。従って6個（偶数個）のNOT回路を通り抜けたLEDのところはＯＮ（１）　つまり点灯です。