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負の数（マイナスの数）は「補数」表現で
凄い(スゴイ)こと考えるネ
これまで例えば ８ビット（＝１バイト）Boxでは、0000 0000 から 1111 1111(2)
まで256通りの数を表すことが出来る。10進数で言うと 0 から 255 (10)
までの大きさの数を表すと申してきました。
負の数（負数）を取り扱うためには、上の約束を変更（へんこう）しなければなりません。変更するといっても、
これまで述べてきたことが破算になる（ダメになる）のではモチロンありませ〜ん。
各ビットは 0 か 1 のいずれかが入り、符号マイナス「−」は入る余地がありません。勿論符号プラス「＋」も入るビットはありません。なので「
補数（ほすう）」なるもので負数を表すことに至りました。
さ〜て、後に(2)を付けたのは２進数、(10)を付けたのは10進数を表わすということでしたネ。
ここでは簡単で区切りのいい８ビット（１バイト）で説明していますが、何ビットでもかまいません。図のように、最左端（７番ですネ）ビットを符号ビットと呼んで、
０ のとき 正の数（プラスの数）
１ のとき 負の数（マイナスの数）
を表すことにすると云う約束の変更です。
他は何ら変わるものでありませんよ。
そうすると、８ビットでは
正の数は
0000 0000 〜 0111 1111(2)
つまり 0 〜 127（10）
の範囲を表すことになります。(正しくいうと、０ は正の数でない。注1）
負の数は
1111 1111 〜 1000 0000(2)
ということになりますが…
いきなりですが、上の例１、２の解説です。
−1 を 1111 1111
−35 を 1101 1101
など負の数を「２の補数表現」する具体例を示しました。その必然性（わけ）をこれから説明に入ります。
操作（＝作り方）のまとめ
「負の数」を「２の補数」で表すには、その絶対値（＝符号を取り除いたものデス）から
�，垢戮討離咼奪箸鯣薪召気察´■� を加える（たす）
と云う�� �△力�続操作をする。
その結果を（基数）２の補数（ほすう）と呼ぶ。
次表のように コンピュータ内の負の数が見えて来ましたネ
逆に考えてみます。補数表現の
1111 1011(2)は１０進数でいくらか？
左はしが 1だから負数ですネ。
�� (ビット反転） 0000 0100
�� （１をたす）
0000 0101
これは 5（10）だから、上の答えは
10進の −5 であることになります。
負の負は正なり ⇒ −(−5) = ＋5
このように負数を補数で表したとき、
８ビット（１バイト）で作る数を全部並べて見ました。
表からも分かるように大きさの順に
−128 から −１ までとなり、０と正数 １ から 127 までと合わせてトータルして 256 通りになります。
コンピュータ がひき算を知らない！？
ひき算 は⇒たし算でやる！
ひき算 125−128 は
たし算 125＋(−128） と同じです。
最上位ビットを 1 にして負の数を作ったことにより、コンピュータは内部でひき算をしないという、コスイ、ニクイ、頭イイ ことやっている。
上の計算を左に示しました。 うまくいっています。
補数表現した負の小数を見てみよう
８ビットの大きさのBOXで、負の小数（２の補数表現）を見てみます。
負数だから左端（最上位）は符号ビット（0で正数、1で負数）です。
小数点の位置はどこでもいいんですが、今は中央（３番４番の間）としました。
例に −6.625(10) を取り上げました。絶対値（符号を除いた）6.625が２進では、 0110 .1010 です。
�´△亮蟒腓鬚靴� 1001.0110 となりました。
符号ビットは１になっています。
−6.625(10) の補数表現は 1001.011０(2) と示されました。
例で分かるように、整数部としては４ビット分あるので、
正の数は 0000〜0111 ⇒ 0 〜 7(10) 、
負の数は 1111〜1000 ⇒ −1〜 −8(10)
の範囲を表す。小数部４ビットを加味すると、
0111.1111 〜1000.0000 ⇒ 7.9375 〜 −8(10)
の範囲と云うことになりそうです。
２バイト（16 ビット）の負数の補数表現
16ビットでも同じように補数表現を行います。最上位（15番ビット）は符号ビットにあて、０で正の数、１で負の数を表します。正の数は 0000000000000000〜0111111111111111
つまり１０進で、0 〜32767 の範囲を表し、
負の数は補数表現で
1000000000000000〜1111111111111111
つまり１０進で、−32768 〜 −1 の範囲の数を表します。
指数を使った言い方にしますと、 １６ビット（２バイト）で表現できる符号付き2進数は
−２15 〜 ２15 −1 (10) の範囲となりますね。
難しい言い方になりますが（小学生には早過ぎるw）、基数２の補数を用いて n ビットで表される２進数の範囲（大きさ）は
−２n-1 〜 ２n-1 −１ となります。
補数(２の補数)をよく知るために
２進数の正の数⇒負の数は、
�，垢戮討離咼奪箸鯣薪召気察´■� を加える（たす）という�´△裡欧弔力�続操作で作る。これを２の補数表現と言うとしてきました。
２の補数を８ビットの大きさのBOXで説明します。
簡単のため、８ビットにしましょう。
0001 0110(2) に、�´△料犧遒鬚靴�
1110 1010(2) を作りました。
10進数にすると、22から −22 を作ったわけです。 さて両者を加えてみます。
0001 0110 + 1110 1010
= 1 0000 0000
となりますが、１ は１ケタくり上がって、8ビットからはみ出しです。オーバー。おさまる場所がないから捨てるしかないです。
そうすれば、見かけ上
0001 0110 + 1110 1010 = 0
となっています。
このように、２進数A とA' について、
A + A' = 1 0000 0000 （1×28です）
になるとき、Ａ’をＡの補数（２の補数）とよぶ。あるいはＡとＡ’は互いに補数の関係にあるといいます。
尚、ややこしくなるのですが、
A + A”= 1111 1111 (全ビット１)
になるとき、Ａ”をＡの1の補数（基数-1）と 呼び区別します。上記操作で、�，料乾咼奪犯薪樵犧遒世韻鬚靴燭發里任后�
10進数 Ａの補数(10の補数) Ａ’について
（基数−1）9の補数についても
ここであつかう数は10進数ですよ。
例 ４ケタの数 Ａ＝４３２１ に対して
４３２１ ← A
＋ ５６７９ ← Ａ’
１００００ 和（5ケタ）
A' = 5679 は（基数）10の補数。
４３２１ ← A
+ ５６７８ ← A''
９９９９ 和（4ケタ）
A'' = 5678 は（基数−１）９の補数。へんちくりん。
上の説明で、くり上がって、はみ出た１を捨てると、
Ａ + Ａ’= ０ （オール 0） です。
さ〜て10進数では、Ａ’はＡの補数と呼ぶが、負数とは言いません。
10進の負数は
『−Ａ』ですよ〜。でも
A+A'= 0 、 A+(−A)=0
を比べて見ると、A'と −Aはウリ２つですか。
実際の情報処理試験問題から
問題負数を２の補数で表現する符号付き 16 ビットの２進数を 16 進法で表示したもののうち，４倍するとあふれが生じるものはどれか。
ア 1FFF イ DFFF
ウ E000 エ FFFF 平成１９年に出題されました。
算術シフト（1011ページ）は使わなくでも出来ます。２の補数で表す負数を意識するため扱います。 16ビット符号付き２進数の表す範囲は上述したように、 □から□までです。はみ出すのはどれでしょう。
【答は イ】 解説を次ページに。
- 問題 です m(^_^)m
- （１） 10進の負数 −50 は 8ビットの２進数 ではいくらですか。
- （２） 10進の計算 20−50 を 8ビットの２進数の「たし算」でやってみよう。
- （３） 8ビットの2進数 1010 0101 は 10進でいくらでしょう。
- （４) 前問の2進数の 2の補数はいくらでしょう。また1の補数はいくらでしょう。
- （５） 10進数 4066 の10の補数、16進数 9AE の16の補数を求めよう。
- （６） コンピュータが補数を好きなのは、ひき算するのが嫌いだから。YES or NO？
前ページの情報処理試験問題の解説
問題1
＝
ですから 、２進小数では 0./ 0000/ 1000/ 0000/ …
と表されます。小数点以下５ビット目が１ですネ。分かりやすくするため、４ビット毎に括っています。 括り方から分かるように、これは、16進では、0. / 0/ 8 / 0 /… と云うことです。
問題２ ２進数に変更すると、
c (16)=1100 (2)と同じように o.c (16)=0.1100 (2) です。
10進分数では
となり、小数に直して 0.5 + 0.25 = 0.75となります。
その他の前ページの答え
問１
= 0.010101 (有限小数) 問２
= 0.0100110011001… (1001を繰り返す無限小数)
なお +0 、-0 と書くのは許される場合があり、どっちも ０ のことなり。気分的で面白い！
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あらすじを解説したサイトを見かけました。ネタバレが嫌いな方は直接書物を読み終えるまでは絶対に開いてはいけません。
ネタバレ紹介その１。
その２。
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